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【大学受験生向け】夏休前、今の実力をチェックして受験対策を（数学編 解答）｜大阪茨木『地頭も鍛える！個別指導塾ロジスク』
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私たちは、『地頭＝論理的思考力の向上』から学力向上を目指す、今までにない全く新しいスタイルの個別指導塾です。大学受験や高校受験、資格試験対策はもちろん、学習の習慣化のお手伝いもさせていただきます。
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夏休前の実力チェック 数学編の答え合わせ行きます！
大問１（2次関数）
xの2次関数
y=ax²+bx-a²+a+10・・・①
はx=２のとき最大値をとる。また、①のグラフをCとすると、Cは放物線であり、x軸と異なる2点A,Bで交わる。
このとき、ｂ=ー４aが成り立ち、aのとりえる値の範囲は
ー５<a<０である。（5点）
y=ax²+bx-a²+a+10・・・①
がx=2で、最大値pをとるとすると、①は、
y=a(x-2)²+p・・・②
すなわち
y=ax²-4ax+4a+p・・・②’
と表せて
a<0・・・③
よって、①、②’を比較して
b=-4a、-a+a+10=4a+p
であるから
p=-a²-3a+10
したがって、Cの方程式②は
y=a(x-2)²-a²-3a+10・・・④
となり、Cの頂点をＰとすると
Ｐ(２、-a²-3a+10)・・・⑤
である。Ｃがx軸と異なる2点Ａ，Ｂで交わるのは、Ｐのy座標が正となることであるから
-a²-3a+10>0
(a+5)(a-2)＜0
よって、③との共通範囲を求めて
-5＜a＜0・・・⑥
（１）ＡＢを1辺とする正方形の面積が18となるのはa=ー5/2のときである。（3点）
④でy=0とおくと
ｘ＝2∓√a²+3a-10/a
よって
ＡＢ＝２√a²+3a-10/a
であるから、ＡＢを１辺とする正方形の面積が１８であるとき
4・a²+3a-10/a＝18
(2a+5)(a-4)=0
a=-5/2
（２）①の最大値が6となるときa=ー４である。このときＣの頂点をＰとする。
３点Ａ，Ｂ，Ｐから等距離にある点Ｑの座標は（２、２３／８）であり、
ＡＱ＝ＢＱ＝ＰＱ＝２５／８である。（7点）
①の最大値pが6となるのは
p＝6
-a²-3a+10=6
a²-3a-4=0
(a+4)(a-1)=0
a=-4
このとき
P(2,6)、AB＝√6
である。2点A,BはCの軸(直線x=2)に関して対称であるから、AQ＝BQであり、QはCの軸上にある。よって、Q(2,ｑ)と表せて、ＰＱ²＝ＡＱ²より
（6-q)²＝(√6/2)²+q²
ｑ＝23/8
よって、Ｑ(2、23/8)であり
ＡＱ＝ＢＱ＝ＰＱ＝6-23/8＝25/8
（３）Ｃをy軸に関して対称移動し、さらにx軸方向にk、y軸方向に l だけ平行移動すると
2次関数y=-2x²+8x+8のグラフになるとする。
このとき
a = ー２ k =４ l =４
である。（10点）
2次関数
y＝-2x²+8x+8
＝-2(x-2)²+16
の頂点をP’とすると、P’(２，16)
Cをy軸に関して対称移動し、さらに、x軸方向にk、ｙ軸方向にｌだけ平行移動してもx²の係数は変化しないから
a=-2
このとき、⑤より頂点Pは
点R（-2+k、-a²-3a+10+ｌ）
に移る。
よって、Ｐ’とＲが一致するから
-2+k-=2、-a²-3a+10+ｌ=16
であり K=4、ｌ＝4
大問２（場合の数、確率）
数字１が記入されたカードが４枚、数字２が記入されたカードが２枚、数字３が記入されたカードが２枚の計８枚のカードがある。
（１）８枚のカードから３枚のカードを取り出す。取り出したカードに記入された３つの数字の組み合わせは８通りである。また、取り出した３枚のカードの数字を並べてできる３桁の整数は２５通りである。（各３点*2）
(ⅰ)同じ数字3つのとき(１，１，１)の１通り
(ⅱ)同じ数字2つと異なる数字１つのとき
3P2=3×2＝6通り
(ⅲ)異なる数字3つのとき(１，２，３)の１通り
(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)より数字の組み合わせは
1+6+1＝8通り
3桁の整数は、上の(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)のそれぞれについて
（ⅰ）は1通り
（ⅱ）は、それぞれ3通りずつあるから6×3＝18通り
（ⅲ）は３！＝６通り
よって、１+18+６＝25通り
（２）８枚のカードから同時に３枚のカードを取り出す。３枚のカードの数字がすべて１である確率は１／１４であり、少なくとも１が１枚含まれる確率は、１３／１４である。また、取り出された３枚の数字の合計が５である確率は、２／７である。（各3点＊3）
８枚のカードから3枚のカードを取りだすすべての場合の数は
8Ｃ3＝５６通り
これらは同様に確からしい。
3枚のカードが全て１である場合は4C3＝４通りであるから、その確率は
４／５６＝１／１４
少なくとも１枚が１である場合は、３枚とも２または３である場合が4C3＝４通りであるから
１－４／５６＝１３／１４
数字の和が５になるのは、１が２枚と３が１枚の場合と、１が１枚と２が２枚の場合があるから
4C3・2C1＋4C1・2C2＝（４・３／２・１）・２＋４・１＝１６通り
よって
１６／５６＝２／７
（３）８枚のカードから１枚ずつ順に３枚のカードを取り出す。ただし、取り出したカードは元にもどさないものとする。この時、３枚のカードが全て１である確率は、１／１４であり、２回以上続けて１を取り出す確率は５／１４である。また、２回目までに１を取り出さなかったとき、３回目に１を取り出す条件付き確率は２／３である。（3点、3点、4点）
１枚ずつ順に３枚取るとき、3枚とも１である確率は
４／８・３／７・２／６＝１／１４
2回つづけて１を取り出す確率は、1枚目と2枚目に１を取り出す場合と、2枚目と3枚目に1を取り出す場合があるから
４／８・３／７・４／６＋４／８・４／７・３／６＝２／７
３枚続けて１を取り出す場合と合わせて、２回以上続けて１を取り出す確率は
１／１４＋２／７＝５／１４
また、２回目までに１を取り出さなかったとき６枚のカードが残っており、このうち４枚が１のカードだから、３回目に１を取り出す確率は
４／６＝２／３
大問３（微分・積分）
a>0とする。点（1,2-2a）を通る曲線y=f(x)がある。
この曲線上の点（t,f(t)）における接線の傾きが6t²-6atであるとき
f(x)=２x³ ⁻ ３x² ＋ a
である。（3点）
f’(t)＝6t²-6at より
f’(t)＝∫(6t²-6at)dt=2t³-3at²+C
y=f(x)が点(1,2-2a)を通るので C＝a
よって、f(ｘ)=2x³-3ax²+a
(１) 関数f(x)はx=０のとき極大値をとり、x=aのとき極小値をとる。（5点）
f(ｘ)=6x²-6ax=6x(x-a)
a>0であるからf(x)は
x=0のとき 極大値 a
x=aのとき 極小値 -a³+a＝-a(a-1)(a+1)
をとる
(２) x＞0のときつねにf(x)＞0となるaの値の範囲は
0 ＜ a ＜１
である。（7点）
x>0におけるf(ｘ)の最小値はf(a)であるから、求める条件は f(a)>0
ゆえに、-a³+a>0とa>0より、0<a<1
（３）方程式f(x)＝0が x＜4の範囲に異なる3つの実数解を持つためのaの値の範囲は
１＜a＜１２８／４７
である。（１０点）
方程式f(x)＝０がx<４の範囲に異なる３つの実数解をもつのは、x<4の範囲でy=f(ｘ)のグラフとx軸とが異なる３点で交わるときである。この条件は
0<a<４ f(a)<0 f(4)>0
であり
f(a)＝-a(a-1)(a+1)<0より -1<a<0, 1<a
f(4)＝128-47a>0より
a<128/47
ゆえに
１<a<128／47
大問4(数列)
数列｛aₙは初項61、公差-2の等差数列である。
（１）数列｛aₙ｝の初項から第ｎ項までの和をＳₙとすると、
Ｓₙはn=３１のとき、最大値９６１をとる。
また｜aₙ｜≦61を満たす項は６２個あり
６２
Σ ｜aₙ｜＝１９２２ である。（6点）
K=1
aₙ=61-2(n-1)＝63-2n
aₙ≧0とすると、63ー２n≧0より n≦31.5
よって、数列{aₙ｝は初項から第31項までが正の数であり、第32項から負の数になる。
したがって、Ｓₙはn=31のとき最大値をとる。
最大値は、
３１／２(２・６１＋３０・(ー２))＝９６１
また｜aₙ｜≦61とすると
ー６１≦63‐2n≦61
１≦n≦６２
よって、｜aₙ｜≦61を満たす項は62個あり、数列{｜aₙ｜}は
61,59,…,3,1,1,3…59,61
となるから
62 31
Σ ｜aᴋ｜＝２Σaᴋ
K＝1 K=1
=２・９６１
＝１９２２
（２）数列｛aₙ｝の連続して並ぶ6項のうち、はじめの4項の和が次の2項の和に等しければ、6項のうちの最初の項は、a33=-3である。（4点）
数列｛aₙ｝の連続して並ぶ6項の最初の項をbとすると6項は
b,b-2,b-4,b-6,b-8,b-10
よって
b+(b-2)+(b-4)+(b-6)+(b-8)+(b-10)
b＝-3
aₙ=-3とすると
６３－２n＝ー３
n=33
（３）mを自然数として、数列｛aₙ｝の連続して並ぶ4m+2項のうち、初めの2m+2項の和をT、次の2m項の和をUとする。
連続して並ぶ4m+２項の最初の項をcとすると
T = ２（m+１）（c - ２m -１ ）
T + U ＝２（2m+1）（c -４m - １）
と表される。（7点）
T＝Uであるとき
ｃ＝ー４m² +１
であり、aₙ=c となるのは、n＝２m² +３１のときである。（8点）
数列｛aₙ｝の連続して並ぶ4m+2項の最初の項をcとすると初めの2m+2項の和Ｔは
T=(2m+2)／2(2c-2(2m＋1))
=２(m＋1)(c-2m-1)
4m＋2項の和T＋Uは
T＋U＝(4m＋2)／2(2c-2(4m＋1))
＝2(2m＋1)(c-4m-1)
T＝Uのとき T＋U＝２Tであるから
2(2m＋1)(c-4m-1＝4(m＋1)(c-2m-1)
C＝-4m²＋1
aₙ=ｃとすると
63-2n=-4m²＋1
n=2m²＋31
テストを終えて
いかがでしたか？？
まだ基礎固めの途中という人もいると思いますし、
分野毎での得意・不得意など
人それぞれで課題も違うと思います。
ただこのテスト全体の出来栄えでの今後の方針をお伝えすると、
≪8-9割以上の正答率≫【優秀】
基礎はほぼ仕上がっていると言えます。ヌケモレを無くした後に実践的な問題や過去問などの実戦形式の演習に入れば、10-11月頃までに、関関同立などの難関大で合格できるレベルも現実的です！さらに上のレベルへのチャレンジも目指せます。
≪6-7割程度の正答率≫【良好】
基礎がまだ固まり切っていません。まずは基礎～標準レベルの問題集をしっかり仕上げてましょう。目安としては、夏休み中に受験基礎レベルの参考書を固めきりましょう。順調にいけば年末年始目安で関関同立など難関大過去問で合格水準の得点が取れるようになります。まずは基礎を固めきることに注力しましょう。
≪4-5割程度の正答率≫【注意】
基礎のヌケモレがあります。ある程度時間をかけて仕上げていく必要があります。8月末～9月頃までに基礎がしっかり固まりきれば、2月の一般入試で難関でも勝負できるところまで持っていけそうです。
≪３割以下の正答率の場合≫【追上】
状況にもよりますが、教科書レベルの基礎、公式や概念の入れ直しから始めた方が良いかもしれません。かなり時間が掛かると思いますが、焦らずに時間をかけて基礎を固めきりましょう。年末まででどの程度仕上がるかで志望校を決めていく流れになると思います。
理系の生徒さんは数Ⅲ分野もあるので、恐らくかなり力と時間をかけて仕上げていくことになるかと思いますが、志望校の出題傾向や他の科目との兼合いも見つつどういったレベルまで仕上げていくのかを決めて行きます。
皆さんの進捗確認の参考になれば幸いです。
国語の進捗チェック問題も出していきたいと思いますので、
次回以降も要チェック！でお願いします。
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