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【大学受験生向け】夏休前、今の実力をチェックして受験対策を(数学編 解答)|大阪茨木『地頭も鍛える!個別指導塾ロジスク』

地頭を鍛える!個別指導塾ロジスク』です。


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私たちは、『地頭=論理的思考力の向上』から学力向上を目指す、今までにない全く新しいスタイルの個別指導塾です。大学受験や高校受験、資格試験対策はもちろん、学習の習慣化のお手伝いもさせていただきます。


具体的には、関関同立(関西大学、関西学院大学、同志社大学、立命館大学)や産近甲龍(京都産業大学、近畿大学、甲南大学、龍谷大学)と言った関西地区の私立大学、大阪大学、神戸大学、大阪公立大学など関西地区の国公立大学に進学を目指す大学受験生、難関公私立高校受験、英検などの資格試験対策を支援します♪

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夏休前の実力チェック 数学編の答え合わせ行きます!




大問1(2次関数)


xの2次関数 


 y=ax²+bx-a²+a+10・・・①


はx=2のとき最大値をとる。また、①のグラフをCとすると、Cは放物線であり、x軸と異なる2点A,Bで交わる。


このとき、b=ー4aが成り立ち、aのとりえる値の範囲は


ー5<a<である。(5点)


 y=ax²+bx-a²+a+10・・・①

がx=2で、最大値pをとるとすると、①は、

 y=a(x-2)²+p・・・②

すなわち

 y=ax²-4ax+4a+p・・・②’

と表せて

 a<0・・・③

よって、①、②’を比較して

 b=-4a、-a+a+10=4a+p

であるから

 p=-a²-3a+10

したがって、Cの方程式②は

 y=a(x-2)²-a²-3a+10・・・④

となり、Cの頂点をPとすると

 P(2、-a²-3a+10)・・・⑤

である。Cがx軸と異なる2点A,Bで交わるのは、Pのy座標が正となることであるから

 -a²-3a+10>0

 (a+5)(a-2)<0

よって、③との共通範囲を求めて

 -5<a<0・・・⑥


(1)ABを1辺とする正方形の面積が18となるのはa=ー5/2のときである。(3点)


④でy=0とおくと

 x=2∓√a²+3a-10/a

よって

 AB=2√a²+3a-10/a

であるから、ABを1辺とする正方形の面積が18であるとき

 4・a²+3a-10/a=18

 (2a+5)(a-4)=0

 a=-5/2


(2)①の最大値が6となるときa=ー4である。このときCの頂点をPとする。


  3点A,B,Pから等距離にある点Qの座標は(2、23/8)であり、 


  AQ=BQ=PQ=25/8である。(7点)


①の最大値pが6となるのは

p=6

-a²-3a+10=6

a²-3a-4=0

(a+4)(a-1)=0

a=-4

このとき

 P(2,6)、AB=√6

である。2点A,BはCの軸(直線x=2)に関して対称であるから、AQ=BQであり、QはCの軸上にある。よって、Q(2,q)と表せて、PQ²=AQ²より

(6-q)²=(√6/2)²+q²

q=23/8

よって、Q(2、23/8)であり

AQ=BQ=PQ=6-23/8=25/8


(3)Cをy軸に関して対称移動し、さらにx軸方向にk、y軸方向に l だけ平行移動すると

2次関数y=-2x²+8x+8のグラフになるとする。


このとき

    a = ー2 k = l =


である。(10点)


2次関数

y=-2x²+8x+8

 =-2(x-2)²+16

の頂点をP’とすると、P’(2,16)

Cをy軸に関して対称移動し、さらに、x軸方向にk、y軸方向にlだけ平行移動してもx²の係数は変化しないから

a=-2

このとき、⑤より頂点Pは

点R(-2+k、-a²-3a+10+l)

に移る。

よって、P’とRが一致するから

-2+k-=2、-a²-3a+10+l=16

であり K=4、l=4



       

大問2(場合の数、確率)


数字1が記入されたカードが4枚、数字2が記入されたカードが2枚、数字3が記入されたカードが2枚の計8枚のカードがある。


(1)8枚のカードから3枚のカードを取り出す。取り出したカードに記入された3つの数字の組み合わせは通りである。また、取り出した3枚のカードの数字を並べてできる3桁の整数は25通りである。(各3点*2)


(ⅰ)同じ数字3つのとき(1,1,1)の1通り

(ⅱ)同じ数字2つと異なる数字1つのとき

  3P2=3×2=6通り

(ⅲ)異なる数字3つのとき(1,2,3)の1通り

(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)より数字の組み合わせは

1+6+1=8通り

3桁の整数は、上の(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)のそれぞれについて

(ⅰ)は1通り

(ⅱ)は、それぞれ3通りずつあるから6×3=18通り

(ⅲ)は3!=6通り

よって、1+18+6=25通り



(2)8枚のカードから同時に3枚のカードを取り出す。3枚のカードの数字がすべて1である確率は1/14であり、少なくとも1が1枚含まれる確率は、13/14である。また、取り出された3枚の数字の合計が5である確率は、2/7である。(各3点*3)


8枚のカードから3枚のカードを取りだすすべての場合の数は

8C3=56通り

これらは同様に確からしい。

3枚のカードが全て1である場合は4C3=4通りであるから、その確率は

4/56=1/14

少なくとも1枚が1である場合は、3枚とも2または3である場合が4C3=4通りであるから

1-4/56=13/14

数字の和が5になるのは、1が2枚と3が1枚の場合と、1が1枚と2が2枚の場合があるから

4C3・2C1+4C1・2C2=(4・3/2・1)・2+4・1=16通り

よって

16/56=2/7



(3)8枚のカードから1枚ずつ順に3枚のカードを取り出す。ただし、取り出したカードは元にもどさないものとする。この時、3枚のカードが全て1である確率は、1/14であり、2回以上続けて1を取り出す確率は5/14である。また、2回目までに1を取り出さなかったとき、3回目に1を取り出す条件付き確率は2/3である。(3点、3点、4点)


1枚ずつ順に3枚取るとき、3枚とも1である確率は

4/8・3/7・2/6=1/14

2回つづけて1を取り出す確率は、1枚目と2枚目に1を取り出す場合と、2枚目と3枚目に1を取り出す場合があるから

4/8・3/7・4/6+4/8・4/7・3/6=2/7

3枚続けて1を取り出す場合と合わせて、2回以上続けて1を取り出す確率は

1/14+2/7=5/14

また、2回目までに1を取り出さなかったとき6枚のカードが残っており、このうち4枚が1のカードだから、3回目に1を取り出す確率は

4/6=2/3



大問3(微分・積分)


a>0とする。点(1,2-2a)を通る曲線y=f(x)がある。

この曲線上の点(t,f(t))における接線の傾きが6t²-6atであるとき


f(x)=x³ ⁻ x² + a


である。(3点)


f’(t)=6t²-6at より

f’(t)=∫(6t²-6at)dt=2t³-3at²+C

y=f(x)が点(1,2-2a)を通るので C=a

よって、f(x)=2x³-3ax²+a



(1) 関数f(x)はx=のとき極大値をとり、x=aのとき極小値をとる。(5点)


f(x)=6x²-6ax=6x(x-a)

a>0であるからf(x)は

x=0のとき 極大値 a

x=aのとき 極小値 -a³+a=-a(a-1)(a+1)

をとる



(2) x>0のときつねにf(x)>0となるaの値の範囲は


   0 < a < 


である。(7点)


x>0におけるf(x)の最小値はf(a)であるから、求める条件は f(a)>0

ゆえに、-a³+a>0とa>0より、0<a<1


(3)方程式f(x)=0が x<4の範囲に異なる3つの実数解を持つためのaの値の範囲は

 

   <a<128/47


である。(10点)


方程式f(x)=0がx<4の範囲に異なる3つの実数解をもつのは、x<4の範囲でy=f(x)のグラフとx軸とが異なる3点で交わるときである。この条件は

0<a<4 f(a)<0 f(4)>0

であり

f(a)=-a(a-1)(a+1)<0より -1<a<0, 1<a

f(4)=128-47a>0より

a<128/47

ゆえに

1<a<128/47



大問4(数列)


数列{aₙは初項61、公差-2の等差数列である。


(1)数列{aₙ}の初項から第n項までの和をSₙとすると、

Sₙはn=31のとき、最大値961をとる。


また|aₙ|≦61を満たす項は62個あり

 62

  Σ |aₙ|=1922  である。(6点)

  K=1


aₙ=61-2(n-1)=63-2n

aₙ≧0とすると、63ー2n≧0より n≦31.5

よって、数列{aₙ}は初項から第31項までが正の数であり、第32項から負の数になる。

したがって、Sₙはn=31のとき最大値をとる。

最大値は、

31/2(2・61+30・(ー2))=961

また|aₙ|≦61とすると

ー61≦63‐2n≦61

1≦n≦62

よって、|aₙ|≦61を満たす項は62個あり、数列{|aₙ|}は

61,59,…,3,1,1,3…59,61

となるから

62 31

Σ |aᴋ|=2Σaᴋ

K=1 K=1

=2・961

     =1922



(2)数列{aₙ}の連続して並ぶ6項のうち、はじめの4項の和が次の2項の和に等しければ、6項のうちの最初の項は、a33=-3である。(4点)


数列{aₙ}の連続して並ぶ6項の最初の項をbとすると6項は

b,b-2,b-4,b-6,b-8,b-10

よって

b+(b-2)+(b-4)+(b-6)+(b-8)+(b-10)

b=-3

aₙ=-3とすると

63-2n=ー3

n=33



(3)mを自然数として、数列{aₙ}の連続して並ぶ4m+2項のうち、初めの2m+2項の和をT、次の2m項の和をUとする。


連続して並ぶ4m+2項の最初の項をcとすると

T =(m+1)(c - m -


T + U =(2m+1)(c -m -


と表される。(7点)


T=Uであるとき


c=ー4m² +


であり、aₙ=c となるのは、n=m² +31のときである。(8点)


数列{aₙ}の連続して並ぶ4m+2項の最初の項をcとすると初めの2m+2項の和Tは

T=(2m+2)/2(2c-2(2m+1))

=2(m+1)(c-2m-1)

4m+2項の和T+Uは

T+U=(4m+2)/2(2c-2(4m+1))

   =2(2m+1)(c-4m-1)

T=Uのとき T+U=2Tであるから

2(2m+1)(c-4m-1=4(m+1)(c-2m-1)

C=-4m²+1

aₙ=cとすると

63-2n=-4m²+1

n=2m²+31



テストを終えて


いかがでしたか??

まだ基礎固めの途中という人もいると思いますし、

分野毎での得意・不得意など

人それぞれで課題も違うと思います。


ただこのテスト全体の出来栄えでの今後の方針をお伝えすると、


≪8-9割以上の正答率≫【優秀】

基礎はほぼ仕上がっていると言えます。ヌケモレを無くした後に実践的な問題や過去問などの実戦形式の演習に入れば、10-11月頃までに、関関同立などの難関大で合格できるレベルも現実的です!さらに上のレベルへのチャレンジも目指せます。


≪6-7割程度の正答率≫【良好】

基礎がまだ固まり切っていません。まずは基礎~標準レベルの問題集をしっかり仕上げてましょう。目安としては、夏休み中に受験基礎レベルの参考書を固めきりましょう。順調にいけば年末年始目安で関関同立など難関大過去問で合格水準の得点が取れるようになります。まずは基礎を固めきることに注力しましょう。


≪4-5割程度の正答率≫【注意】

基礎のヌケモレがあります。ある程度時間をかけて仕上げていく必要があります。8月末~9月頃までに基礎がしっかり固まりきれば、2月の一般入試で難関でも勝負できるところまで持っていけそうです。


≪3割以下の正答率の場合≫【追上】

状況にもよりますが、教科書レベルの基礎、公式や概念の入れ直しから始めた方が良いかもしれません。かなり時間が掛かると思いますが、焦らずに時間をかけて基礎を固めきりましょう。年末まででどの程度仕上がるかで志望校を決めていく流れになると思います。



理系の生徒さんは数Ⅲ分野もあるので、恐らくかなり力と時間をかけて仕上げていくことになるかと思いますが、志望校の出題傾向や他の科目との兼合いも見つつどういったレベルまで仕上げていくのかを決めて行きます。



皆さんの進捗確認の参考になれば幸いです。


国語の進捗チェック問題も出していきたいと思いますので、

次回以降も要チェック!でお願いします。



 

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